角的平分线 ?? 初中数学第四册教案
3．9角的平分线
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教学目标
1
．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．
2
．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．
3
．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。
教学重点和难点
角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．
性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．
教学过程设计
一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明
1
，复习引入课题．
（
1
）提问关于直角三角形全等的判定定理．
（
2
）让学生用量角器画出图
3
－
86
中的
∠AOB
的角
平分线
OC
．
2
．画图探索角平分线的性质并证明之．
（
1
）在图
3
－
86
中，让学生在角平分线
OC
上任取一
点
P
，并分别作出表示Ｐ点到
∠AOB
两边的距离的线段
PD
，
PE
．
（
2
）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．
<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />
3
．逆向思维探求角平分线的判定定理．
（
1
）让学生将定理
1
的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理
2??
角平分线的判定定理．
（
2
）教师随后强调定理
1
与定理
2
的区别：已知角平分线用性质为定理
1
，由所给条件判定出角平分线是定理
2
．
（
3
）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．
4
．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．
（
1
）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．
（
2
）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．
由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．
二、应用举例、变式练习
练习
1
填空：如图
3
－
86
（
1
）
∵OC
平分
∠AOB
，点
P
在射线
OC
上，
PD⊥OA
于
D
PE⊥OB
于
E
．
∴---------
（角平分线的性质定理）．
（
2
）
∵PD⊥OA
，
PE⊥OB
，
----------∴ OP
平分
∠AOB
（
-------------
）
例
1
已知：如图
3
－
87
（
a
），
ABC
的角平分线
BD
和
CE
交于
F
．
（
l
）求证：
F
到
AB
，
BC
和
AC
边的距离相等；
（
2
）求证：
AF
平分
∠BAC
；
（
4
）怎样找
△ABC
内到三边距离相等的点？
（
5
）若将
“
两内角平分线
BD
，
CE
交于
F”
改为
“△ABC
的两个外角平分线
BD
，
CE
交于
F
，如图
3-87
（
b
），那么（
1
）～（
3
）题的结论是否会改变？怎样找
△ABC
外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？
说明：
（
1
）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（
1
）题）和判定定理（第（
2
）题）的目的．
（
2
）此题提供了证明
“
三线共点
”
的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。
（
3
）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（
5
）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．
练习
3
已知：如图
3
－
88
，在四边形
ABCD
中，
AB
＝
AD
，
AB⊥BC
，
AD⊥DC
．求证：点
C
在
∠DAB
的平分线上．
分析：证明第（
1
）题时，利用
“
等角的余角相等
”
可得到
∠OEC
＝
∠OED
，再利用角平分线的性质定理得到
OC
＝
OD
．这样处理，可避免证明两个三角形全等．
练习
4
课本第
54
页的练习
.
说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．
三、互逆命题，互逆定理的定义及应用
1
．互逆命题、互逆定理的定义．
教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调
“
互逆命题
”
是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．
2
．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．
例
3
写出下列命题的逆命题，并判断（
1
）～（
5
）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：
（
1
）两直线平行，同位角相等；
（
2
）直角三角形的两锐角互余；
（
3
）对顶角相等；
（
4
）全等三角形的对应角相等；
（
5
）如果
|x|
＝
|y|
，那么
x
＝
y
；
（
6
）等腰三角形的两个底角相等；
（
7
）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（
6
）题的逆命题不能说成是
“
两底角相等的三角形是等腰三角形
”
．
3
．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．
例
4
判断下列命题是否正确：
（
1
）错误的命题没有逆命题；
（
2
）每个命题都有逆命题；
（
3
）一个真命题的逆命题一定是正确的；
（
4
）一个假命题的逆命题一定是错误的；
（
5
）每一个定理都一定有逆定理．
通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．
四、师生共同小结
1
．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？
2
．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
3
．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？
五、作业
课本第
55
页第
3
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
题．
课堂教学设计说明
本教学设计需
2
课时完成．
角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性．
3．9角的平分线
<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
教学目标
1
．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．
2
．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．
3
．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。
教学重点和难点
角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．
性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．
教学过程设计
一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明
1
，复习引入课题．
（
1
）提问关于直角三角形全等的判定定理．
（
2
）让学生用量角器画出图
3
－
86
中的
∠AOB
的角
平分线
OC
．
2
．画图探索角平分线的性质并证明之．
（
1
）在图
3
－
86
中，让学生在角平分线
OC
上任取一
点
P
，并分别作出表示Ｐ点到
∠AOB
两边的距离的线段
PD
，
PE
．
（
2
）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．
<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />
3
．逆向思维探求角平分线的判定定理．
（
1
）让学生将定理
1
的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理
2??
角平分线的判定定理．
（
2
）教师随后强调定理
1
与定理
2
的区别：已知角平分线用性质为定理
1
，由所给条件判定出角平分线是定理
2
．
（
3
）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．
4
．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．
（
1
）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．
（
2
）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．
由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．
二、应用举例、变式练习
练习
1
填空：如图
3
－
86
（
1
）
∵OC
平分
∠AOB
，点
P
在射线
OC
上，
PD⊥OA
于
D
PE⊥OB
于
E
．
∴---------
（角平分线的性质定理）．
（
2
）
∵PD⊥OA
，
PE⊥OB
，
----------∴ OP
平分
∠AOB
（
-------------
）
例
1
已知：如图
3
－
87
（
a
），
ABC
的角平分线
BD
和
CE
交于
F
．
（
l
）求证：
F
到
AB
，
BC
和
AC
边的距离相等；
（
2
）求证：
AF
平分
∠BAC
；
（
4
）怎样找
△ABC
内到三边距离相等的点？
（
5
）若将
“
两内角平分线
BD
，
CE
交于
F”
改为
“△ABC
的两个外角平分线
BD
，
CE
交于
F
，如图
3-87
（
b
），那么（
1
）～（
3
）题的结论是否会改变？怎样找
△ABC
外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？
说明：
（
1
）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（
1
）题）和判定定理（第（
2
）题）的目的．
（
2
）此题提供了证明
“
三线共点
”
的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。
（
3
）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（
5
）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．
练习
3
已知：如图
3
－
88
，在四边形
ABCD
中，
AB
＝
AD
，
AB⊥BC
，
AD⊥DC
．求证：点
C
在
∠DAB
的平分线上．
分析：证明第（
1
）题时，利用
“
等角的余角相等
”
可得到
∠OEC
＝
∠OED
，再利用角平分线的性质定理得到
OC
＝
OD
．这样处理，可避免证明两个三角形全等．
练习
4
课本第
54
页的练习
.
说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．
三、互逆命题，互逆定理的定义及应用
1
．互逆命题、互逆定理的定义．
教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调
“
互逆命题
”
是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．
2
．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．
例
3
写出下列命题的逆命题，并判断（
1
）～（
5
）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：
（
1
）两直线平行，同位角相等；
（
2
）直角三角形的两锐角互余；
（
3
）对顶角相等；
（
4
）全等三角形的对应角相等；
（
5
）如果
|x|
＝
|y|
，那么
x
＝
y
；
（
6
）等腰三角形的两个底角相等；
（
7
）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（
6
）题的逆命题不能说成是
“
两底角相等的三角形是等腰三角形
”
．
3
．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．
例
4
判断下列命题是否正确：
（
1
）错误的命题没有逆命题；
（
2
）每个命题都有逆命题；
（
3
）一个真命题的逆命题一定是正确的；
（
4
）一个假命题的逆命题一定是错误的；
（
5
）每一个定理都一定有逆定理．
通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．
四、师生共同小结
1
．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？
2
．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
3
．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？
五、作业
课本第
55
页第
3
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
题．
课堂教学设计说明
本教学设计需
2
课时完成．
角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性．