4.6 探索多边形的内角和与外角和 ( 一 )

教学目标

( 一 ) 教学知识点：

1. 理解多边形及正多边形的定义

2. 掌握多边形的内角和公式

( 二 ) 能力训练要求

1. 经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系

2. 探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力

( 三 ) 情感与价值观要求

经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系

教学重点：多边形的内角和

教学难点：探索多边形的内角和公式过程

教学过程：

一．引入课题：

引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？

提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导。（学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形）

展示生活中的多边形图片：

二．讲授新课

1 ．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形；在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可；多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图

把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形 ( 如图 (2)) 图 (1) 的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形

多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点

对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角

如图

多边形通常以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边形；三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形；多边形的表示方法与三角形、四边形类似，可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图 (3) ，可表示为五边形 ABCDE ，也可表示为五形 EDCBA 。

好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题 ( 课本 P ₁₂₅ 的图 )

(1) 一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流

(2) 小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和，你知道他们是怎么做的吗？

(3) 还有其他的方法吗？

( 学生讨论、画图、归纳自己的方法 )

在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形，进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法

请同学们完成课本的“想一想”。（学生画图，归纳，猜想）

（从 n 边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引 ( n － 3) 条对角线，这时 n 边形被分割成 ( n － 2) 个三角形，因为每个三角形的内角和是 180 °，所以 n 边形的内角和为 ( n － 2) ? 180 °）

大家想一想， n 边形的内角和公式中，字母 n 取值有没有范围？

（必须是大于 3 的自然数）

同学们口答一下： 12 边形的内角和是多少呢？（ 1800 °）

请同学们“想一想”：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？

1 ．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形

2 ．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形

下面大家想一想，议一议：

1 、一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？

如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等

2 、一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？

一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等

3 、正三角形、正四边形 ( 正方形 ) 、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？

因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为 ( n － 2) ? 180 °，所以，正 n 边形的每个内角为： ? 180 °

因此，正三角形的内角是： ；

正方形的内角是： ? 180 ° =90 °

正五边形的内角是：

正六边形的内角是： ；正八边形的内角是：

三．知识运用：

例 1 、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

已知：四边形 ABCD 的∠ A ＋∠ C = 180 º．求：∠ B 与∠ D 的关系．

分析：本题要求∠ B 与∠ D 的关系，由于已知∠ A ＋∠ C = 180 º，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．

解：如图，四边形 ABCD 中，∠ A ＋∠ C ＝ 180 º。

∵∠ A+ ∠ B+ ∠ C+ ∠ D= （ 4 － 2 ）× 360 º =180 º，

∴∠ B ＋∠ D= 360 º－（∠ A ＋∠ C ） =180 º

这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．

四．课时小结

本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式

即： n 边形的内角和等于 ( n － 2) ? 180 ° , 它揭示了多边形内角和与边数之间的关系

板书设计：