数学教案－指数函数与对数函数的性质及其应用

教 案

课题 ：指数函数与对数函数的性质及其应用

课型 ：综合课

教学目标 ：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。

重点 ：指数函数与对数函数的特性。

难点 ：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。

教学方法 ：多媒体授课。

学法指导 ：借助列表与图像法。

教具 ：多媒体教学设备。

教学过程 ：

一、   复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。

二、   展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。

指数函数与对数函数关系一览表

函数 性质	指数函数 y=a x （a＞0且a≠1）		对数函数 y=log a x（a＞0且a≠1）
定义域	实数集R		正实数集（0，?∞）
值域	正实数集（0，?∞）		实数集R
共同的点	（0，1）		（1，0）
单调性	a＞1 增函数		a＞1 增函数
	0＜a＜1 减函数		0＜a＜1 减函数
函数特性	a＞1	当x＞0,y＞1	当x＞1,y＞0
		当x＜0,0＜y＜1	当0＜x＜1, y＜0
	0＜a＜1 <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />	当x＞0, 0＜y＜1	当x＞1, y＜0
		当x＜0,y＞1	当0＜x＜1, y＞0
反函数	y=log a x（a＞0且a≠1）		y=a x （a＞0且a≠1）
图像	Y y=(1/2) x y=2 x (0,1) X		Y y=log 2 x (1,0) X y=log 1/2 x

三、   同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成， 观察其特点，并得出y＝log ₂ x与y＝2 ^x 、 y＝log _1/2 x与y＝（1/2） ^x 的图像关于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝log _a x与y＝a ^x 互为反函数关系，且y＝log _a x的定义域与y＝a ^x 的值域相同，y＝log _a x的值域与y＝a ^x 的定义域相同。

Y

y＝(1/2) ^x y＝2 ^x y＝x

（0，1）              y＝log ₂ x

（1，0）            X

y＝log _1/2 x

注意：不能由图像得到y＝2 ^x 与y＝（1/2） ^x 为偶函数关系。因为偶函数是指同一个函数的图像关于Y轴对称。此图虽有y＝2 ^x 与y＝（1/2） ^x 图像对称，但它们是2个不同的函数。

四、   利用指数函数与对数函数性质去解决含有指数与对数的复合型函数的定义域、值域问题及比较函数的大小值。

五、   例题

例⒈比较（Л） ^（－0.1） 与（Л） ^（－0.5） 的大小。

解：∵ y＝a ^x 中， a＝Л＞1

∴ 此函数为增函数

又∵ ?0.1＞?0.5

∴ （Л） ^（－0.1） ＞（Л） ^（－0.5）

例⒉比较log ₆ 7与log ₇ 6的大小。

解： ∵ log ₆ 7＞log ₆ 6＝1

log ₇ 6＜log ₇ 7＝1

∴  log ₆ 7＞log ₇ 6

注意：当2个对数值不能直接进行比较时，可在这2个对数中间插入一个已知数，间接比较这2个数的大小。

例⒊ 求y＝ ₃ √4-x ² 的定义域和值域。

解：∵√4-x ² 有意义，须使4-x ² ≥0

即x ² ≤4，      |x|≤2

∴-2≤x≤2，即定义域为[-2，2]

又∵0≤x ² ≤4，   ∴0≤4-x ² ≤4

∴0≤√4-x ² ≤2，且y＝3 ^x 是增函数

∴3 ⁰ ≤y≤3 ² ，即值域为[1，9]

例⒋ 求函数y＝√log _0.25 （log _0.25 x）的定义域。

解：要函数有意义，须使log _0.25 （log _0.25 x）≥0

又∵ 0＜0.25＜1，∴y＝log _0.25 x是减函数

∴ 0＜log _0.25 x≤1

∴ log _0.25 1＜log _0.25 x≤log _0.25 0.25

∴ 0.25≤x＜1，即定义域为[0.25，1）

六、   课堂练习

求下列函数的定义域

1.      y＝8 ^{[1/（2x-1）]}

2.      y＝log _a （1-x） ² （a＞0，且a≠1）

七、   评讲练习

八、   布置作业

第113页，第10、11题。并预习指数函数与对数函数

在物理、社会科学中的实际应用。